题目：长方形旋转的轨迹

已知长方形ABCD中，AB=3cm, BC=4cm, AC=5cm。分析绕点C旋转90°的过程。

董老师交互式课件
支持触控拖动
宽 (AB): 3
长 (BC): 4
旋转角度: 0° 90°
1

题目条件分析

长方形①绕底部的 点C 顺时针旋转至长方形②的位置。
观察图形可知，长方形由“平放”变为“竖立”，说明整体 旋转了 90°。

2

问题一：顶点A的路线

顶点A绕中心点C旋转，其运动轨迹是一段红色圆弧。

• 旋转半径 $r = AC = 5\text{cm}$

• 旋转圆心角 $n = 90^\circ$

弧长 $L = \frac{n \pi r}{180}$

路线长 $= \frac{90 \times \pi \times 5}{180} = 2.5\pi \text{ cm}$

3

问题二：扫过总面积

扫过的总面积不规则，我们将其分割为三部分：

  • 初始三角形 ABC
    面积 = $3 \times 4 \div 2 = 6$
  • 对角线AC扫过的扇形
    面积 = $\frac{1}{4} \pi \times 5^2 = 6.25\pi$
  • 结束三角形 A'D'C
    与初始面积相等 = $6$
最终答案 总面积 = $6 + 6.25\pi + 6 = 12 + 6.25\pi \text{ cm}^2$